რ. კურანტი, ჰ. რობინსი | რა არის მათემატიკა

1.2.5. ერთი მნიშვნელოვანი უტოლობა

შემდეგ თავში დაგვჭირდება უტოლობა

(1.8)
\({(1+p)^n}\geq{1+np}\)

რომელსაც ადგილი აქვს ყოველი \(p>-1\) რიცხვისათვის და \(n\)-ის ნებისმიერი მთელი დადებითი მნიშვნელობისათვის (ზოგადობის თვალსაზრისით ამჯერად ჩვენ ვამჯობინებთ \(p\)-სათვის უარყოფითი და არამთელი მნიშვნელობის განხილვა, ოღონდ ის მეტი იყოს \(-1\)-ზე. უტოლობის დამტკიცება ერთი და იგივეა, დამოუკიდებლად იმისა, როგორია \(p\) რიცხვი). ამ შემთხვევაშიც ჩვენ ვისარგებლებთ მათემატიკური ინდუქციით.

a) თუ \({(1+p)^r}\geq{1+rp}\) მართებულია, მაშინ უტოლობის ორივე მხარის \(1+p\) დადებით რიცხვზე გამრავლებით მივიღებთ

\({(1+p)^{(r+1)}}\geq{1+rp+p+rp^2}\).

გადავაგდებთ რა \(rp^2\) დადებით წევრს, ამით უტოლობა უფრო გაძლიერდება; ამრიგად,

\({(1+p)^{(r+1)}}\geq{1+(r+1)p}\).

მიღებული შედეგი გვიჩვენებს, რომ ( 1.8 ) უტოლობა \(n=r+1\)-თვისაც მართებულია, b) ცხადია, რომ \({(1+p)^1}\geq{1+p}\). ამრიგად, დამტკიცება დამთავრებულია.

ცხადია, რომ \(p>-1\) პირობა არსებითია. თუ \(p<-1\), მაშინ \(1+p\) იქნება უარყოფითი და a) მსჯელობა აღარ გამოდგება, რადგან უტოლობის ორივე მხარის უარყოფით რიცხვზე გამრავლება ცვლის უტოლობის ნიშანს (მაგალითად, \(3>2\) უტოლობის \(-1\)-ზე გამრავლებით მივიღებდით \(-3>-2\), რაც არამართებულია).

1.2.4. პირველი \(n\) კვადრატის ჯამი 1.2.6. ბინომიალური თეორემა